Deux critères de divisibilité par 4 - Corrigé

Énoncé

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) qui s'écrit en base  \(10\) : \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0}\)  
autrement dit : \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2} \times 100+\overline{a_1a_0}\)  
avec \(a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0\) compris entre  \(0\) et \(9\) , et \(a_n \neq 0\) .

1. Quel est le reste dans la division euclidienne de \(100\)  par \(4\) ?

2. 1^er critère : démontrer que \(N\) est divisible par \(4\)  si, et seulement si, le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\) .

3. 2^e critère : Démontrer   que \(N\) est divisible par \(4\)  si, et seulement si, \(2a_1+a_0\) est divisible par \(4\) .

Solution

1. Comme \(100=4 \times 25\) , le reste dans la division euclidienne de \(100\) par \(4\) vaut \(0\) . On en déduit que \(100 \equiv 0 \ [4]\) .

2. Comme \(100 \equiv 0 \ [4]\) , on remarque que :  \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2} \times 100+\overline{a_1a_0} \equiv \overline{a_1a_0} \ [4]\) .
Par conséquent :
\(\begin{align*} N \text{ est divisible par } 4 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ N \equiv 0 \ [4] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{a_1a_0} \equiv 0 \ [4] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{a_1a_0} \text{ est divisible par } 4 \end{align*}\)
donc \(N\) est divisible par \(4\) si, et seulement si, le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\) .

3. Comme \(10 \equiv 2 \ [4]\) , on remarque que :  \(N \equiv \overline{a_1a_0} \equiv 10a_1+a_0 \equiv 2a_1+a_0 \ [4]\) .
Par conséquent :
\(\begin{align*} N \text{ est divisible par } 4 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ N \equiv 0 \ [4] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2a_1+a_0 \equiv 0 \ [4] \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2a_1+a_0 \text{ est divisible par } 4 \end{align*}\)
Ainsi  \(N\) est divisible par \(4\) si, et seulement si, \(2a_1+a_0\) est divisible   par \(4\) .